大学物理

第一章 静电场

第一讲 库仑定律

库仑定理——（真空静止点电荷）

$$
F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}\boldsymbol{r}^0\tag 1
$$

其中真空介电常数 $\varepsilon_0 \approx 8.85\times10^{-12} C^2N^{-1}m^{-2}$，令 $k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ 则 $k\approx 9\times 10^9Nm^2/C^2$，矢量 $\boldsymbol{r}^0$ 由施力电荷指向受力电荷

第二讲 电场强度$E$

2.1 电场强度

$$
E = \frac{F}{q_0}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\boldsymbol{r}^0\tag 2
$$

2.2 均匀带电细圆环

圆环轴线上一点 $P$ 的电场强度：

$$
E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qx}{(R^2+x^2)^\frac{3}{2}}\tag 3
$$

其中，$x$ 表示 $P$ 点到圆环中心 $O$ 的距离，$R$ 表示圆环半径，$q$ 表示圆环带电量；

2.3 有限长直线段

直线外一点 $P$ 电场强度：

$$
E_x=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 a}(cos\theta_1-cos\theta_2), E_y=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 a}(sin\theta_2-sin\theta_1)\tag 4
$$

注：在建立坐标系的情况下，上式均带有方向，其中沿 $y$ 轴正向：$\theta_1\rightarrow \theta_2$，$\theta$ 为与 $y$ 轴正向夹角；
其中，$a$ 表示 $P$ 点到直线的垂直距离；

2.4 均匀带电无限长直线

由 $2.4$ 推得：令$\theta_1=0,\theta_2=\pi$

$$
E_x = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 a}, E_y = 0\tag 5
$$

2.5 均匀带电无限大平面

$$
E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \tag 6
$$

2.6 无限大均匀带异号电荷平板间

$$
E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\tag 7
$$

其中，$\sigma$ 表示每个平板的电荷面密度；

2.7 电偶极子

电偶极矩：$\boldsymbol{p}=q\boldsymbol{l}$
中垂线上一点$P$场强：

$$
E = -\frac{\boldsymbol{p}}{4\pi\varepsilon_0y^3} (y\gg l)\tag 8
$$

共线上一点 $P$ 场强：

$$
E=\frac{2\boldsymbol{p}}{4\pi\varepsilon_0x^3}(x\gg l)\tag 9
$$

其中 $\boldsymbol{l}$ 方向由负电荷指向正电荷；

2.8 力偶矩

电偶极子在匀强电场中得力偶矩：

$\boldsymbol{F}_+=q\boldsymbol{E},\boldsymbol{F}_-=-q\boldsymbol{E}$ $$M = F_+\cdot\frac{1}{2}lsin\theta+F_-\cdot\frac{1}{2}lsin\theta=qlEsin\theta\tag{10} $$ $\Rightarrow\boldsymbol{M}=q\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{E}=\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{E}$ 注：电偶极子在电场的作用下总要使 $\boldsymbol{p}$ 转向 $\boldsymbol{E}$ 的方向；

第三讲 电通量 $\bigstar$高斯定理

3.1 电通量

$$
\Phi_e=\oint_S\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S}\tag{11}
$$

3.2 高斯定理

选定高斯面后，电通量：

$$
\Phi_e=\oint_S\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_{(内)}q_i\tag{12}
$$

3.3 轴对称性电场

无限长均匀带电直线外一点 $P$ 场强：

$$
\Phi_e=\boldsymbol{E}\oint_侧d\boldsymbol{S}=2\pi rEl=\frac{1}{\varepsilon_0}\lambda l\Rightarrow E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\tag{13}
$$

其中，$r$表示 $P$ 距离导线垂直距离；

3.4 球面对称性电场

均匀带电球面电场分布：

$$
\Phi_e=\boldsymbol{E}\oint_S\boldsymbol{S}=E\cdot 4\pi r^2=\sum_{(内)}q_i=q
$$

$$
\Rightarrow E=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\boldsymbol{r}^0(r>R)\tag{14}
$$

$$
\Rightarrow E=0(r<R)
$$

3.5 无限大均匀带电平面

选定圆柱面作为高斯面：

$$
\Phi_e=\oint_{左端面}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S}+\oint_{右端面}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S}=2ES=\frac{1}{\varepsilon_0}\sigma S\tag{15}
$$

$\Rightarrow E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$

3.6 均匀带电圆盘

$$
E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(1-\frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}})\tag{16}
$$

3.7 均匀带电球体

$$
E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\boldsymbol{r_0}(r>R)
$$

$$
E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\boldsymbol{r}(r<R)
$$

第四讲 静电场的环路定理 电势能

4.1 电场强度环流

$$
\oint\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l}=0\tag{17}
$$

环路定理表明静电场是无旋有源场；

4.2 电势能

选定电势能零参考点，则点 $A$ 处的电势能：

$$
w_a=A_{a’0’}=\int_a^{‘0’}q_0\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l}\tag{18}
$$

注：电势能是标量，相对于电势能零参考点有负值；

第五讲 电势 电势差

5.1 电势与电势差

$A$点电势：

$$
u_a=\frac{W_a}{q_0}=\int_a^{‘0’}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l}\tag{19}
$$

注：电势为标量；

$$
U_{ab}=u_a-u_b=\int_a^b\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l}\tag{20}
$$

电荷$q$$a\rightarrow b$时，静电力做功：

$$
A_{ab}=q(u_a-u_b)\tag{21}
$$

5.2 电偶极子电势能

在电场 $\boldsymbol{E}$ 中：

$$
W=-\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E}\tag{22}
$$

当$\boldsymbol{E}$为非均匀电场时，上式应改为积分形式；在电场中做功：

• 方法一

$$
W_{\theta_1\theta_2}=-\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E}(\theta_1)-(-\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E}(\theta_2))
$$

• 方法二

$$
W_{\theta_1\theta_2}=\int_{\theta_1}^{\theta_2}-\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{E}d\theta
$$

5.3 电势叠加原理

对于点电荷选取无穷远处作为零电势点：

$$
u_a=\int_a^{\infty}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}\
W_a = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{r}\tag{23}
$$

叠加原理——标量叠加

$$
u_a=\sum u_i\
\Rightarrow u_a=\int_Q\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r}\tag{24}
$$

5.4 电荷分布求电势

积分形式：

$$
u_a=\int_Q\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r}\tag{25}
$$

电偶极子外任一点$C$的电势：

$$
U_C = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r_+}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r_-}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{r_–r_+}{r_-r_+}
$$

$$
r\gg l\Rightarrow r_+r_-\approx r^2,r_–r_+\approx lcos\theta\tag{26}
$$

$$
\Rightarrow u_C = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}}{r^3}
$$

5.5 电场强度求电势

场强与电势关系：

$$
u_a=\int_a^{\infty}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l}\tag{27}
$$

带电体电荷分布具有对称性时，利用高斯定理求出场强分布进而求电势；
【无限长均匀带电圆柱面】
由高斯定理求得电场分布：

$E = 0 (r\leq R)$ $E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}(r>R)$

一般而言，当电荷分布延伸到无穷远时，是不能选取无穷远处为电势零参考点的；

$$
u_P=\int_P^{P_0}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l}=\int_P^{P’}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l}+\int_{P’}^{P_0}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l}
$$

$$
=0+\int_r^{r_0}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}dr
=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r+\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r_0\tag{29}
$$

$$
=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r+C(r>R)
$$

$$
u_P=\int_P^{P_0}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l}=\int_r^R\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l}+\int_R^{r_0}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l}
$$

$$
=0+\int_R^{r_0}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}dr\tag{30}
$$

$$
=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln R + C(r<R)
$$

其中，$C=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r_0$

5.6 均匀带电球面电势

$V(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{R}(r \leq R)$ $V(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}(r>R)$

5.7 均匀带电球体电势

球内距离球心$r$处一点$P$电势：

$$
u = u_1+u_2=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R^3}r^2+\int_r^R\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq_2}{r’}
$$

$$
=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R^3}r^2+\int_r^R\frac{3Qr’}{4\pi\varepsilon_0R^3}dr’\tag{32}
$$

$$
=\frac{Q(3R^2-r^2)}{8\pi\varepsilon_0R^3}(r<R)
$$

球外距离球心 $r$ 处一点 $P$ 电势：

$$
u = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}(r\ge R)\tag{33}
$$

注：在 $P$ 点的电场强度犹如电荷集中在球心处的点电荷在 $P$ 点产生的电场强度一样，故电势同理；

第六讲 电势与场强微分关系

$$
E = -\frac{du}{dn}, E_l=-\frac{du}{dl}
$$

$$
\boldsymbol{E}=-(\frac{\partial u}{\partial x}\boldsymbol{i}+\frac{\partial u}{\partial y}\boldsymbol{j}+\frac{\partial u}{\partial z}\boldsymbol{k}), u(x,y,z)\Rightarrow E(x,y,z)\tag{34}
$$

第七讲 静电场中的导体 电容

7.1 静电平衡导体表面

电场强度：

$$
\boldsymbol{E}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\boldsymbol{n}\tag{35}
$$

区别于无限大带电平面产生的电场(缺少静电平衡的条件)：

$$
\boldsymbol{E}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\boldsymbol{n}\tag{36}
$$

7.2 孤立导体电容

$$
C = \frac{q}{u}\tag{37}
$$

7.3 平行板电容器电容

$$
C = \frac{q}{u_1-u_2}\
=\frac{q}{Ed}=\frac{q}{\frac{\sigma}{\varepsilon_0}d}\
=\frac{q}{\frac{qd}{\varepsilon_0S}}=\frac{\varepsilon_0S}{d}\tag{38}
$$

7.4 球形电容器电容

两球面间电场强度：

$$
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\tag{39}
$$

$$
u_1-u_2=\int_{R_1}^{R_2}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l} = \int_{R_1}^{R_2}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}dr
$$

$$
=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{R_2-R_1}{R_1R_2}\tag{40}
$$

$$
\Rightarrow C = \frac{q}{u_1-u_2}=\frac{4\pi\varepsilon_0R_1R_2}{R_2-R_1}
$$

7.5 电容器串并联

• 串联

$$
\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{C_n}
$$

• 并联

$$
C = C_1+C_2+\cdot\cdot\cdot+C_n\tag{41}
$$

第八讲 静电能

8.1 静电能公式推导

$$
U(t) = \frac{q(t)}{C}, dA = U(t)dq = \frac{q(t)}{C}dq
$$

$$
A = \int dA = \int_0^Q\frac{q(t)}{C}dq=\frac{Q^2}{2C}
Q=CU\tag{42}
$$

$$
\Longrightarrow A = \frac{1}{2}CU^2=\frac{1}{2}QU\Rightarrow W=A=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}CU^2=\frac{1}{2}QU
$$

8.2 电场能量密度推导

$$
U=Ed, C = \frac{\varepsilon_0S}{d}
$$

$$
\Rightarrow W = \frac{1}{2}\varepsilon_0E^2Sd = \frac{1}{2}\varepsilon_0E^2V\tag{43}
$$

$$
\Rightarrow \omega = \frac{W}{V}=\frac{1}{2}\varepsilon_0E^2
$$

第九讲 电介质的极化 束缚电荷

9.1 电介质

$$
C = \varepsilon_r C_0\tag{44}
$$

其中，$\varepsilon_r$ 称为介质的相对介电常数（相对电容率），$C_0$ 表示真空中对应的电容；因此，除真空中 $\varepsilon_r=1$ 外，其余 $\varepsilon_r>1$；

9.2 介质极化

有极分子 $\Rightarrow$ 取向极化
无极分子 $\Rightarrow$ 位移极化

第十讲 电介质内的电场强度

根据电介质极化原理推导：

$$
\boldsymbol{E} = \boldsymbol{E}_0+\boldsymbol{E}’,\ E_0=\frac{\sigma_0}{\varepsilon_0},E’=\frac{\sigma’}{\varepsilon_0}
$$

$$
\Rightarrow E = \frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}-\frac{\sigma’}{\varepsilon_0},\ E = \frac{E_0}{\varepsilon_r}\tag{45}
$$

$$
\Rightarrow \sigma’=(1-\frac{1}{\varepsilon_r})\sigma_0
$$

第十一讲 $\bigstar$电介质中的高斯定理

11.1 电位移矢量

推导：

$$
\iint_S\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}(\sigma_0-\sigma’)S
$$

由式(45)得:

$$
\frac{1}{\varepsilon_0}(\sigma_0-\sigma’)=\frac{\sigma_0}{\varepsilon_0\varepsilon_r}
$$

$$
\iint_S\varepsilon_0\varepsilon_r\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S}=\varepsilon_0S=q_0
$$

令 $\boldsymbol{D} = \varepsilon\boldsymbol{E} = \varepsilon_0\varepsilon_r\boldsymbol{E}$ 得:

$$
\iint_S\boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S} = q_0\tag{46}
$$

其中，$D$ 称为电位移矢量或电通密度，$\varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_r$ 称为电介质的介电常数；

11.2 电介质中的能量密度

$$
\omega = \frac{1}{2}\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}\
\varepsilon_r = 1\Rightarrow \omega = \frac{1}{2}\varepsilon_0E^2\tag{47}
$$

第十二讲 经典习题

第二章 恒定电流的磁场

第一讲 磁感应强度$B$

电流元 $Idl$ 所受磁场力：

$$
d\boldsymbol{F} = Id\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{B}\tag{1}
$$

第二讲 毕奥-萨伐尔定律

2.1 电流元的磁场

$$
d\boldsymbol{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{r}^0}{r^2}\tag{2}
$$

其中，$\mu_0=4\pi\times10^{-7}N/A^2$称为真空磁导率，$\boldsymbol{r}_0$ 表示到 $P$ 点的单位矢量，$r$ 表示到 $P$ 点的距离；

2.2 运动电荷的磁场

$$
\boldsymbol{B} = \frac{d\boldsymbol{B}}{dN}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{r}^0}{r^2}\tag{3}
$$

2.3 载流直导线的磁场

$$
dB = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idlsin\theta}{r^2}
$$

$$
\Rightarrow B = \frac{\mu_0I}{4\pi r}\int_{\theta_1}^{\theta_2}sin\theta d\theta=\frac{\mu_0I}{4\pi r}(cos\theta_1-cos\theta_2)\tag{4}
$$

$$
\theta_1\approx 0,\theta_2\approx\pi\Rightarrow B = \frac{\mu_0I}{2\pi r}
$$

式中，$r$ 表示到载流导线的距离；

2.4 载流圆环的磁场

$$
B = \int dB_x = \int dBcos\theta = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{Idl}{r^2}cos\theta
$$

$$
cos\theta = \frac{R}{r}=\frac{R}{(R^2+x^2)^{1/2}}\tag{5}
$$

$$
\Rightarrow B = \frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+x^2)^{3/2}}
$$

【$N$匝线圈】

$$
B = \frac{\mu_0IR^2N}{2(R^2+x^2)^{3/2}}\tag{6}
$$

【圆弧磁场】
由式 (5) 令 $x=0$ 得圆心处磁感应强度: $B = \frac{\mu_0I}{2R}$

$$
B = \frac{\mu_0I}{2R}\cdot\frac{\varphi}{2\pi}=\frac{\mu_0I\varphi}{4\pi R}\tag{7}
$$

2.5 载流线圈的磁矩

由式 (5) 令 $x\gg R$ 则得: $(x^2+R^2)\approx x^2$

$$
\Rightarrow B\approx \frac{\mu_0IR^2}{2x^3} = \frac{\mu_0I\pi R^2}{2\pi x^3}=\frac{\mu_0 IS}{2\pi x^3}
$$

$$
\Rightarrow Define:\ \ \ \ \boldsymbol{p}_m = IS\boldsymbol{n}\tag{8}
$$

$$
\boldsymbol{B} = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{\boldsymbol{p}_m}{x^3}
$$

其中，$\boldsymbol{n}$表示线圈平面正法线方向上的单位矢量；
圆心处的磁感应强度：

$$
\boldsymbol{B} = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{\boldsymbol{p}_m}{R^3}\tag{9}
$$

2.6 无限大均匀载流平面

$$
dB = \frac{\mu_0\alpha dx}{2\pi\sqrt{r^2+x^2}}
$$

由对称性得：$B_x = \int dB_x, \ \ \ B_y = \int dB_y = 0$

$$
B = B_x = \int \frac{r}{\sqrt{r^2+x^2}}\cdot \frac{\mu_0 \alpha dx}{2\pi\sqrt{r^2+x^2}} =\int \frac{\mu_0 \alpha r dx}{2\pi (r^2+x^2)}
$$

$$
=\frac{\mu_0 \alpha r}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{r^2+x^2}dx=\frac{\mu_0 \alpha}{2}\tag{10}
$$

$$
\Longrightarrow B = \frac{1}{2}\mu_0\alpha
$$

式中，$r$ 表示$P$点距到无限大载流平面的距离，$\alpha$ 表示流过单位长度的电流；

2.7 均匀密绕直螺线管

$$
dB = \frac{\mu_0R^2dI’}{2(R^2+l^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0R^2Indl}{2(R^2+l^2)^{3/2}}
$$

$$
l = Rcot\beta\ ,\ \ \ dl = -Rcsc^2\beta d\beta\ , \ \ \ R^2+l^2 = R^2csc^2\beta
$$

$$
\Rightarrow dB= -\frac{\mu_0}{2}nIsin\beta d\beta\tag{11}
$$

$$
\Rightarrow B =\int_{\beta_1}^{\beta_2}-\frac{\mu_0}{2}nIsin\beta d\beta = \frac{\mu_0nI}{2}(cos\beta_2-cos\beta_1)
$$

【无限长】

$$
L\gg R,\ \ \beta_1\rightarrow\pi, \ \ \beta_2\rightarrow 0 \Rightarrow B = \mu_0nI\tag{12}
$$

【半无限长】
端点处：

$$
\beta_1 = \frac{\pi}{2}, \ \ \beta_2\rightarrow 0\ , or \ \ \beta_1\rightarrow \pi, \ \ \beta_2=\frac{\pi}{2}\Rightarrow B = \frac{\mu_0nI}{2}\tag{13}
$$

式中，$n$ 表示单位长度上的线圈匝数；

2.8 均匀密绕圆环螺线管

$$
B = n\mu I
$$

第三讲 磁通量 磁场的高斯定理

3.1 磁通量

$$
\Phi_m = \int_S \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}\tag{14}
$$

3.2 高斯定理

$$
\oint_S \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}=0\tag{15}
$$

第四讲 $\bigstar$安培环路定理

$$
\oint_L\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{l}=\mu_0\sum_{(内)}I_i\tag{16}
$$

式中，$I_i$ 的正（负）取决于电流方向与闭合路径 $L$ 绕行方向满足（不满足）右螺旋法则；$B$ 表示闭合路径 $L$ 内外所有电流产生的总磁感应强度；
【无限大载流平面】

$$
\oint_L\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{l} = \int_{PQ}\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{l}+\int_{QR}\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{l}+\int_{RS}\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{l}+\int_{SP}\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{l}
$$

$$
=Bx+0+Bx+0 = 2Bx = \mu_0 \alpha x\tag{17}
$$

$$
\Rightarrow B = \frac{1}{2}\mu_0\alpha
$$

第五讲 磁场对电流作用

5.1 载流导线

所受安培力：

$$
\boldsymbol{F} = \int_LId\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{B}\tag{18}
$$

5.2 载流线圈

所受磁力矩：

$$
M = F_{ab}l_1sin\varphi=BIl_1l_2sin\varphi=BISsin\varphi
$$

$$
\boldsymbol{p}_m = IS\boldsymbol{n}\tag{19}
$$

$$
\Rightarrow \boldsymbol{M}=\boldsymbol{p}_m\times\boldsymbol{B}
$$

式中，$\boldsymbol{n}$ 的方向按电流方向用右螺旋法则确定；

5.3 磁力的功

$$
A = F\overline{aa’} = BIl\overline{aa’}=BI\vartriangle S = I\vartriangle\Phi
$$

$$
\Rightarrow A = \int_{\Phi_1}^{\Phi_2}Id\Phi = I(\Phi_2-\Phi_1)=I\vartriangle\Phi\tag{20}
$$

5.4 磁偶极子势能

载流线圈相当于磁偶极子，因此载流线圈同理；
当 $\varphi = \frac{\pi}{2}$ 时, $W = 0$ (零势能点)

$$
W = -A = -\int_\varphi^{\pi/2}Md\varphi = -p_mB\int_\varphi^{\pi/2}sin\varphi d\varphi = -p_mBcos\varphi
$$

$$
\Rightarrow W = -\boldsymbol{p}_m\cdot \boldsymbol{B}\tag{21}
$$

第六讲 带电粒子在电场和磁场中的运动

6.1 洛伦兹力

$$
\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}\tag{22}
$$

式中，$q$ 包含电荷正负特性符号；

6.2 霍尔效应

$$
q\overline{v}B=qE\Rightarrow E = \overline{v}B\Rightarrow U = El = vBl
$$

$$
I = nqS\overline{v}\Rightarrow U = \frac{IB}{nqd} = K\frac{IB}{d}\tag{23}
$$

$$
K = \frac{1}{nq}
$$

式中，$d$ 和 $l$ 分别表示沿电流方向上导体截面的宽度和高度；$n$ 表示单位体积的载流子数；
【载流子种类】

p(positive)型半导体 $\Rightarrow$ 空穴 $\Rightarrow$ 空穴导电
n(negative)型半导体 $\Rightarrow$ 电子 $\Rightarrow$ 电子导电
金属导体(大多数) $\Rightarrow$ 电子 $\Rightarrow$ 电子导电

第七讲 磁介质

7.1 相对磁导率

$$
\mu_r = \frac{B}{B_0}\tag{24}
$$

式中，$B_0$ 表示真空磁感应强度，$\mu_r$ 表示磁介质的相对磁导率，$B$ 表示磁介质的磁感应强度；

$\mu_r > 1\Rightarrow$ 顺磁质(弱/非磁性物质)
$\mu_r<1\Rightarrow$ 抗磁质(弱/非磁性物质)
$\mu_r\gg 1 \Rightarrow$ 铁磁质(强磁性物质)

7.2 $\bigstar$ 磁介质的安培环路定理

$$
\oint_L\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{l} = \mu_0\mu_r\sum_{(内)}I
$$

令 $\mu = \mu_0\mu_r$ 得:

$$
\oint_L \frac{\boldsymbol{B}}{\mu}\cdot d\boldsymbol{l}=\sum_{(内)}I
$$

令 $\boldsymbol{H} = \frac{\boldsymbol{B}}{\mu}$ 得:

$$
\oint_L\boldsymbol{H}\cdot d\boldsymbol{l}=\sum_{(内)}I\tag{25}
$$

式中，$\mu$ 表示磁介质的磁导率，$\boldsymbol{H}$ 表示磁场强度，对有介质存在的环路定理的处理可以参考电位移矢量 $\boldsymbol{D}$；

第八讲 经典习题

第三章 电磁感应与电磁场

第一讲 电磁感应的基本规律

1.1 电动势

闭合回路上：

$$
\xi = \oint\boldsymbol{E}_k\cdot d\boldsymbol{l}\tag{1}
$$

对于一段电路$ab$：

$$
\xi = \int_a^b\boldsymbol{E}_k\cdot d\boldsymbol{l}\tag{2}
$$

其中，$\boldsymbol{E}_k$表示非静电性电场强度；

1.2 法拉第电磁感应定律

$$
\xi_i=-\frac{d\Phi}{dt}\tag{3}
$$

由楞次定律确定方向$\Rightarrow$方向相反；

1.3 多匝串联线圈

$$
\xi_i=-\frac{d}{dt}(\sum_{k=1}^N\Phi_k)=-\frac{d\Psi}{dt}\tag{4}
$$

$$
\xi_i=-\frac{d\Psi}{dt}=-N\frac{d\Phi}{dt}(\Phi_i=\Phi_j, 1 \leq i,j \leq N)\tag{5}
$$

其中，$\Psi=\sum_{k=1}^N\Phi_k$表示穿过各线圈的总磁通量，称为磁通链数；

1.4 长直螺线管

在长直螺线管外套一 $N$ 匝，总内阻为 $R$ 的圆线圈，$S$ 表示螺线管截面积：

$$
B=\mu_0nI\Rightarrow \Phi = \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{S}=\mu_0nIS
$$

当通电电流均匀变化时，螺线管内的感应电动势:

$$
\xi_i=-\frac{d\Psi}{dt}=-N\frac{d\Phi}{dt}=-\mu_0nNS\frac{dI}{dt}
$$

【螺线管内磁感应强度】
感应电流 $I_i=\frac{\xi_i}{R}=-\frac{N}{R}\frac{d\Phi}{dt}$

$$
\Delta_{q_i}=\int_{t_1}^{t_2}I_idt=-\frac{N}{R}\int_{\Phi_1}^{\Phi_2}d\Phi=-\frac{N}{R}(\Phi_2-\Phi_1)
$$

$$
\Longrightarrow \Phi_1-\Phi_2=\frac{\Delta_{q_i}R}{N}
$$

当 $\Phi_1=0\vert_{t=t_1},\Phi_2=BS\vert_{t=t_2\rightarrow+\infty}$ 时，推出 $B=\frac{\Delta_{q_i}R}{NS}$

第二讲 动生电动势 感生电动势

2.1 动生电动势

导体棒 $ab$ 产生的动生电动势：

$$
\xi_i=\int_a^b\boldsymbol{E}_k\cdot d\boldsymbol{l}=\int_a^b(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})\cdot d\boldsymbol{l}\tag{6}
$$

闭合回路产生的动生电动势：

$$
\xi_i=\oint_Ld\xi_i=\oint_L(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})\cdot d\boldsymbol{l}\tag{7}
$$

动生电动势方向由 $\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{l}$ 判定：

$\xi_i>0\Rightarrow u_a\leq u_b$ $\xi_i<0\Rightarrow u_a>u_b$

注：积分路径：$a\rightarrow b$，在电源内部非静电性电场强度从负极指向正极， $\boldsymbol{E}_k$ 与积分方向一致时积分值为正，否则为负；

2.2 感生电动势

感生电场假说$\Longrightarrow$ 有旋电场

【回路固定不动】

$$
\xi_i=\oint_L\boldsymbol{E}_V\cdot d\boldsymbol{l}=-\iint_S\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\cdot d\boldsymbol{S}\tag{9}
$$

感生电动势方向由楞次定律判定；有旋电场度 $E_V$ 的方向判定：闭合回路由右螺旋法则指向磁场方向选定回路绕行正方向，由式 $(9)$ 代入符号计算，$E_V$ 正负与回路绕行方向保持一致；
当 $E_V$ 相等，磁场均匀变化时，

$$
\xi_i=E_V\oint_Ldl=-\frac{\partial{B}}{\partial{t}}\iint_SdS=-\frac{\partial{B}}{\partial{t}}S\tag{10}
$$

$\Longrightarrow$ 计算某一闭合回路上的有旋电场强度($S$ 表示磁场面积)

第三讲 自感与互感

3.1 自感电动势

$$
\Psi=LI\Rightarrow \xi_L=-\frac{d\Psi}{dt}=-L\frac{dI}{dt}\tag{11}
$$

式中 $L$ 表示自感系数为常量，与 $I$ 无关(存在铁磁质时与 $I$ 有关)，仅有回路的匝数、几何形状、大小以及周围介质磁导率决定；

3.2 长直螺线管自感系数

【空心自感线圈】

$$
B = \mu_0nI=\mu_0\frac{N}{l}I\Rightarrow \Psi=NBS=\mu_0\frac{N^2}{l}\pi R^2I
$$

$$
\Longrightarrow L=\frac{\Psi}{I}=\frac{\mu_0N^2\pi R^2}{l}=\mu_0n^2V\ (V=\pi R^2l)\tag{12}
$$

3.3 传输线的分布电感

两长直平行导线电流 $I$，半径 $r_0$，轴线间距 $d$，且 $r_0\leq d$；
导线微元: $d\Phi_1=BdS=\frac{\mu_0I}{2\pi r}ldr$

$$
\Rightarrow \Phi_1=\int_{r_0}^{d-r_0}\frac{\mu_0Il}{2\pi}\frac{dr}{r}=\frac{\mu_0Il}{2\pi}\ln(\frac{d-r_0}{r_0})
$$

$\Phi=\Phi_1+\Phi_2=2\Phi_1$(电流反向) $\Phi=\Phi_1+\Phi_2=0$(电流同向) $$ L=\frac{\Phi}{I}=\frac{\mu_0}{\pi}l\ln(\frac{d-r_0}{r_0})\approx \frac{\mu_0}{\pi}l\ln\frac{d}{r_0}\tag{13} $$

3.4 互感电动势

• 回路 $1$ 对回路 $2$: $\Psi_{21}=M_{21}I_1$
• 回路 $2$ 对回路 $1$: $\Psi_{12}=M_{12}I_2$

$$
M_{21}=M_{12}=M\Longrightarrow \xi_M=-M\frac{dI}{dt}\tag{14}
$$

式中 $M_{21}$ 表示回路 $1$ 对回路 $2$ 的互感系数，$M_{12}$ 表示回路 $2$ 对回路 $1$ 的互感系数；$M$ 表示两个回路间的互感系数，与 $I$ 无关(存在铁磁质时与 $I$ 有关)，由回路的匝数、几何形状、尺寸、周围介质磁导率以及回路的相对位置决定；

$M_{12}=M_{21}=M\Rightarrow$ 转换研究对象简化计算互感系数$\Rightarrow$ 互感电动势

第四讲 磁能

4.1 自感磁能

$$
dA=-\xi_Lidt,\ \xi_L=-L\frac{di}{dt}
$$

$$
\Longrightarrow dA=Lidi
$$

$$
\Longrightarrow A=\int_0^ILidi=\frac{1}{2}LI^2\tag{15}
$$

即$W_m=\frac{1}{2}LI^2$ (自感磁能)
当有磁场能量时可以利用$L=\frac{2W_m}{I^2}$ 计算自感系数

式中，$L$ 表示线圈自感，$I$ 表示线圈所通电流；

4.2 长直螺线管磁能

$$
由式(12)\Rightarrow L=\mu n^2V\Rightarrow W_m=\frac{1}{2}LI^2=\frac{1}{2}\mu n^2I^2V
$$

$$
B=\mu nI\Longrightarrow H=\frac{B}{\mu}=nI\tag{16}
$$

$W_m=\frac{1}{2}BHV$
磁能密度$\omega_m=\frac{W_m}{V}=\frac{1}{2}BH=\frac{1}{2}\frac{B^2}{\mu_0\mu_r}$

4.3 有限体积内的磁能

$$
W_m=\int_VdW_m=\frac{1}{2}\int_VBHdV\tag{17}
$$

第五讲 麦克斯韦电磁场理论

5.1 位移电流

传导电流 $\Leftarrow$ 电荷定向移动形成的电流
位移电流 $\Leftarrow$ 电位移通量的变化率(变化的电场)

$$
\Phi_D=DS=\varepsilon ES=\varepsilon\cdot\frac{\sigma}{\varepsilon}S=\sigma S
$$

• 传导电流

$$
\Longrightarrow \frac{d\Phi}{dt}=\frac{d}{dt}(\sigma S)=\frac{dq}{dt}=I\tag{18}
$$

• 位移电流

$$
\Longrightarrow I_D = \frac{d\Phi_D}{dt}=\frac{dD}{dt}S=\varepsilon\frac{dE}{dt}S
$$

• 全电流

$\Longrightarrow$ 全电流 = $I+I_D$

非恒定电路中传导电流不连续但全电流保持连续

5.2 全电流安培环路定理

$$
\oint_L\boldsymbol{H}\cdot d\boldsymbol{l}=I+I_D,\ I_D =\frac{d\Phi_D}{dt}= \int_S\frac{d\boldsymbol{D}}{dt}\cdot\boldsymbol{S}\tag{19}
$$

5.3 麦克斯韦方程组

• 电场 $\boldsymbol{E}, \boldsymbol{D}$

  自由电荷产生的静电场 $\boldsymbol{E_1}$、$\boldsymbol{D_1}$

  $\Rightarrow\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E_1}+\boldsymbol{E_2}$

  变化磁场产生的有旋电场 $\boldsymbol{E_2}$、$\boldsymbol{D_2}$

  $\Rightarrow\boldsymbol{D}=\boldsymbol{D_1}+\boldsymbol{D_2}$

• 磁场 $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{H}$

  传导电流产生的磁场 $\boldsymbol{B_1}$、$\boldsymbol{H_1}$

  $\Rightarrow\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B_1}+\boldsymbol{B_2}$

  位移电流产生的磁场 $\boldsymbol{B_2}$、$\boldsymbol{H_2}$

  $\Rightarrow\boldsymbol{H}=\boldsymbol{H_1}+\boldsymbol{H_2}$

电场的高斯定理	$\oint_S\boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S}=\sum_iq_i$	电场是有源场
法拉第电磁感应定律	$\oint_L\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l}=-\iint_S\frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}\cdot d\boldsymbol{S}$	静电场是保守(无旋、有势)场
磁场的高斯定理	$\oint_S\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}=0$	磁场是无源场
全电流安培环路定理	$\oint_L\boldsymbol{H}\cdot d\boldsymbol{l}=\sum(I_D+I)$	磁场是有旋(非保守)场

• 位移电流 $I_d$

$$
\Phi_D = \iint\boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S}\
I_d = \frac{d\Phi_D}{dt}
$$

$\Rightarrow$ 位移电流密度 $j_d = \frac{I_d}{S}$ + 位移电流激发的磁场 $B$ $$ \oint_L\boldsymbol{H}\cdot d\boldsymbol{l}=j_dS $$

第四章 狭义相对论力学基础

第一讲 力学相对性原理

1.1 经典力学相对性原理

力学相对性原理
对于描述力学现象的规律而言，所有惯性系都是等价的
力学规律的数学表达式应具有伽利略坐标变换的不变性(协变性)

|

1.2 伽利略坐标变化式

根据 $\lambda_{PS’}+\lambda_{S’S}=\lambda_{PS}$ 推出:

$$
\lambda’ = \lambda-\mu t\ \ (\lambda=x,y,z,\boldsymbol{v},\boldsymbol{a},\mu=u),\ t’=t\tag{1}
$$

第二讲 狭义相对论基本假设

狭义相对论的相对性原理
在所有惯性系中，一切物理学定理都相同，即具有相同的数学表达式
对于描述一切物理现象的规律而言，所有惯性系都是等价的

|

光速不变原理

在所有惯性系中，真空中光沿各个方向传播的速率都等于同一个恒量 $c$，与光源和观察者的运动状态无关

第三讲 狭义相对论的时空观

3.1 同时性的相对性

异地发生的两个同时事件，同时性具有相对性(对任意参考系)
同地发生的两个同时事件，同时性具有绝对性(对任意参考系)

3.2 时间延缓

时间间隔具有相对性

$$
\tau=\frac{\tau_0}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}=\gamma\tau_0\tag{2}
$$

式中，$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}$，$\tau_0$ 表示同地不同时的两事件的时间间隔称为原时，且在不同参考系中测得的时间间隔以原时最短；

3.3 长度收缩

长度测量具有相对性

$$
L’=L\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}\tag{3}
$$

式中，$L$ 表示观测者静止时测得的长度(原长)，$L’$ 表示在沿尺长度方向运动速度为 $u$ 时测得的长度，且在不同参考系中测得的长度以原长最长；

第四讲 洛伦兹变换

4.1 时空坐标变换

$P$ 在 $S$ 中的时空坐标 $(x,y,z,t)$,在 $S'$ 中的时空坐标 $(x',y',z',t')$ $S$ 系中测得 $S'$ 中坐标 $x''= x'\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}$ (长度收缩) $\Longrightarrow$ 在 $S$ 系中 $P$ 坐标 $x = ut + x''=ut+x'\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}$ $S'$ 系中测得 $S$ 中坐标 $x_1= x\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}$ (长度收缩) $\Longrightarrow$ 在 $S'$ 系中 $P$ 坐标 $x' = x_1 -ut' = x\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2} - ut'$ $$ \Longrightarrow x' = \frac{x-ut}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}},t' = \frac{t-\frac{u}{c^2}x}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}\tag{4} $$

式中，$u$ 表示 $S’$ 相对于 $S$ 的速度(相对速度)，$x’$ 表示待求坐标系中参量；

推导时间变换式: 由 $x’ = \frac{x-ut}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}$ 及逆变换 $x = \frac{x’+ut’}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}$ 联立消去 $x’$ 解 $t’$

4.2 时空间隔变换

$P_1,P_2$ 在 $S$ 中的时空坐标 $(x_1,y_1,z_1,t_1),(x_2,y_2,z_2,t_2)$,在 $S'$ 中的时空坐标 $(x_1',y_1',z_1',t_1'),(x_2',y_2',z_2',t_2')$ 由 $S\rightarrow S'$ 得: $$ \Delta t'=\frac{\Delta t-\frac{u}{c^2}\Delta x}{\sqrt{1-\beta^2}},\Delta x'=\frac{\Delta x-u\Delta t}{\sqrt{1-\beta^2}}\ (\beta = \frac{u}{c}) $$ 由 $S'\rightarrow S$ 得: $$ \Delta t=\frac{\Delta t'+\frac{u}{c^2}\Delta x'}{\sqrt{1-\beta^2}},\Delta x=\frac{\Delta x'+u\Delta t'}{\sqrt{1-\beta^2}}\ (\beta = \frac{u}{c})\tag{5} $$ 式中，$u$ 关联于坐标轴选取的正方向，一般选定 $S$ 系运动方向为坐标轴正方向；

4.3 爱因斯坦速度相加定律

由式 $(4)$ 求微分得:

$$
dx’=\frac{(v_x-u)}{\sqrt{1-\beta^2}}dt,\ dy’= dy,\ dz’= dz,\ dt’ = \frac{(1-\frac{u}{c^2}v_x)}{\sqrt{1-\beta^2}}dt
$$

$$
\Rightarrow v_x’=\frac{dx’}{dt’}=\frac{v_x-u}{1-\frac{u}{c^2}v_x},\ v_y’=\frac{dy’}{dt’}=\frac{v_y\sqrt{1-\beta^2}}{1-\frac{u}{c^2}v_x},\ v_z’=\frac{dz’}{dt’}=\frac{v_z\sqrt{1-\beta^2}}{1-\frac{u}{c^2}v_x}\tag{6}
$$

第五讲 狭义相对论质点动力学

5.1 相对论动量和质量

质速关系式

$$
m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}
$$

$$
\Longrightarrow \boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}=\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}\boldsymbol{v},\ \boldsymbol{F}=\frac{d\boldsymbol{p}}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}\boldsymbol{v})\tag{7}
$$

式中，$m_0$ 表示物体静止质量；

5.2 相对论动能

$$
E_k = \int \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}=\int \frac{d(m\boldsymbol{v})}{dt}\cdot d\boldsymbol{r}=\int d(m\boldsymbol{v})\cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\int d(m\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{v}
$$

$m\propto\boldsymbol{v}\Longrightarrow d(m\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{v}=(\boldsymbol{v}dm+md\boldsymbol{v})\cdot \boldsymbol{v}=v^2dm+mvdv$ 由式 $(7)$ 得: $m^2v^2=m^2c^2-m_0^2c^2\Rightarrow v^2dm+mvdv=c^2dm$ $$ E_k=\int_{m_0}^mc^2dm=mc^2-m_0c^2\tag{8} $$

5.3 质能方程

运动能量: $E=mc^2$
静止能量: $E_0=m_0c^2$

5.4 光子质量

爱因斯坦光子假说

光子能量: $E= h\nu$

$$
\Longrightarrow m_\varphi=\frac{E}{c^2}=\frac{h\nu}{c^2}=\frac{h}{c\lambda}\tag{10}
$$

光子、中微子在真空中速率为$c$，不可能静止因此静止能量等于零

5.5 相对论能量与动量关系

由式 $(7)$ 得: $m^2(1-\frac{v^2}{c^2})=m_0^2$

$\Longrightarrow m^2c^4=m^2v^2c^2+m_0^2c^4$ $p=mv\Rightarrow E^2=p^2c^2+E_0^2$ 由于光子 $m_0=0$ 故得: $E_0=0\Rightarrow E^2=p^2c^2$ $$ \Longrightarrow p=\frac{h\nu}{c}=\frac{h}{\lambda}\tag{11} $$

第五章 量子物理基础

第一讲 普朗克量子假设

1.1 基本概念

热辐射	物体由其温度所决定的电磁辐射(温度越高，单位时间内辐射的能量越高)
平衡热辐射	当辐射和吸收达到平衡时，物体的温度不再发生变化而处于热平衡状态时的热辐射
单色辐射出射度(单色辐出度)	物体单位表面积在单位时间内发射的，波长在$\lambda\rightarrow\lambda+d\lambda$ 范围内的辐射能 $dM_\lambda$与波长间隔 $d\lambda$ 的比值
绝对黑体(黑体)	能够全部吸收各种波长的辐射能而不发生发射和透射的物体

1.2 单色辐出度

$$
M_\lambda(T)=\frac{dM_\lambda}{d\lambda}\tag{1}
$$

【单色辐出度图】

温度越高	单色辐出度越大，峰值波长越短

1.3 普朗克量子假设

$$
\varepsilon=nh\nu\tag{2}
$$

式中，$\varepsilon$ 表示腔壁中带电谐振子离散变化的能量，振子的频率为 $\nu$，$n$ 表示量子数，$h\nu$ 表示能量子——谐振子能量的最小单位(不是物质而是能量单位)；

第二讲 爱因斯坦光子理论

2.1 光电效应

金属及其化合物在光的照射下发射电子的现象

【光电效应伏安特性曲线】

照射光光强越大，饱和光电流越大
光电子最大初动能与照射光强度无关，而与频率成线性关系

2.2 光电效应方程

遏止电压: $\frac{1}{2}mv_m^2=eU_a$
光电效应方程: $h\nu = A + \frac{1}{2}mv_m^2$
截止频率: $\nu_0=\frac{A}{h}$

$$
\Longrightarrow U_a = \frac{h}{e}\nu-\frac{A}{e}\tag{3}
$$

第三讲 康普顿效应及光子理论解释

3.1 康普顿效应

单色$X$ 射线被物质散射时，散射光两种波长中有一种波长比入射线长的散射现象

3.2 光子理论解释

【微观机制】——等价于微观粒子的弹性碰撞
入射光子频率 $\nu_0$,散射角为 $\theta$ 的光子频率为 $\nu$,电子沿着与入射线成 $\varphi$ 角的方向运动,静质量 $m_0$,动质量 $m$
由动量守恒定律得到:

$\frac{h\nu_0}{c}=\frac{h\nu}{c}\cos\theta+mv\cos\varphi$ $\frac{h\nu}{c}\sin\theta=mv\sin\varphi$

$\Longrightarrow m^2v^2c^2=h^2(\nu_0^2-\nu^2-2\nu_0\nu\cos\theta)\tag{4}$

由能量守恒定律得到:

$hv_0+m_0c^2=hv+mc^2\tag{5}$ 进一步式 $(5)$ 平方 $-$ 式 $(4)$ 且 $m^2(1-\frac{v^2}{c^2})=m_0^2$ 得到: $$ m_0c^2(\nu_0-\nu)=h\nu_0\nu(1-\cos\theta) $$ $$ \Longrightarrow \Delta\lambda = \lambda - \lambda_0=\frac{c}{\nu}-\frac{c}{\nu_0}=\frac{h}{m_0c}(1-\cos\theta) =\frac{2h}{m_0c}\sin^2\frac{\theta}{2}=2\lambda_C\sin^2\frac{\theta}{2}>0\tag{6} $$ 式中，$\lambda_C=\frac{h}{m_0c}$ 称为电子的康普顿波长；

第四讲 氢原子光谱 玻尔氢原子理论

4.1 氢原子光谱实验规律

氢原子光谱——线状光谱
【里德伯-里兹合并原则】

• 光谱线波数 $\widetilde{\nu}=\frac{1}{\lambda}=T(k)-T(n)=R_H(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{n^2})$ ($k、n\in Z$ 且 $n>k$)
• $k = 1\ (n=2,3,4,\cdots)$ ——赖曼系 $k = 2\ (n=3,4,5,\cdots)$——巴耳末系

4.2 玻尔氢原子理论——氢原子或类氢原子

【辐射频率公式】——辐射或吸收一个频率为 $\nu_{kn}$ 的光子

$$
\nu_{kn} = \frac{|E_k-E_n|}{h}\tag{7}
$$

【角动量量子化条件】——轨道角动量不能连续变化

$$
L=mvr=n\frac{h}{2\pi}=n\overline{h},\ \ n = 1,2,3,\cdots\tag{8}
$$

式中，$\overline{h}=\frac{h}{2\pi}$ 表示约化普朗克常数；
【电子轨道半径】——电子轨道半径不能连续变化

$$
m\frac{v^2}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}
$$

又由式 $(8)$ 得:

$$
\Rightarrow r_n=n^2(\frac{\varepsilon_0h^2}{\pi me^2})=n^2r_1\ (n=1,2,3,\cdots)\tag{9}
$$

式中 $r_1$ 表示氢原子中电子的最小轨道半径，称为玻尔半径；

$n=1$ 的定态——基态
$n=2,3,4,\cdots$ 各态——受激态

氢原子能量=电子动能+电子电势能

量子数为 $n$ 的定态时氢原子能量：

$$
E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r}=-\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r}
$$

$$
\Longrightarrow E_n=-\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_n}=-\frac{1}{n^2}(\frac{me^4}{8\varepsilon_0^2h^2})\ \ \ (n=1,2,3,\cdots)\tag{10}
$$

当 $n\rightarrow \infty$ 时,$r_n\rightarrow \infty$，$\ E_n\rightarrow0$，能级趋于连续，原子趋于电离；$E>0$ 时，原子处于电离状态，能量可连续变化。

电离能: 使原子或分子电离所需要的能量
原子电离电势:电子使原子刚好电离所需的加速电势差

【氢原子跃迁】
高能态跃迁到低能态发射一个光子其频率和波数：

$$
\nu_{nk}=\frac{E_n-E_k}{h}\ \ \ (n>k)
$$

$$
\widetilde{\nu_{nk}}=\frac{1}{\lambda_{nk}}=\frac{\nu_{nk}}{c}=\frac{1}{hc}(E_n-E_k)\tag{11}
$$

常用物理常数

物理常数	物理符号	取值
普朗克常数	$h$	$6.62607015\times 10^{-34} \ \ J\cdot s$
电子电量	$e$	$1.6\times 10^{-19}\ \ C$
光速	$c$	$3\times 10^8\ \ m/s$
真空电容率/真空介电常量	$\varepsilon_0$	$8.85\times 10^{-12}\ \ C^2\cdot N^{-1}\cdot m^{-2}$

Contributors

• Zhihao Li